Множества
– Они рисовали мышеловки, месяц, математику, множество… Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?
– Множество чего? – спросила Алиса.
– Ничего, – отвечала Соня. – Просто множество! 1)
Всю теорию множеств, мы сейчас, конечно, изучать не будем. Но ключевые понятия на примерах много времени не займут. Например, множество «времена года» это «зима, весна, лето, осень», множество «время суток» - «утро, день, ночь, вечер», а множество «сейчас» - это «зима, вечер». Множество не обязательно должно содержать много элементов, элемент может быть один или даже вовсе отсутствовать. В общем, множество - оно и есть «просто множество», абстрактное математическое понятие.
Множества могут пересекаться, то есть иметь общие элементы. Пересечение множеств «времена года» и «сейчас» даст нам множество из единственного элемента «зима», а результатом пересечения множеств «сейчас» и «время суток» будет множество с элементом «вечер». Результатом пересечения множеств является другое множество, а не единственный элемент. Их может быть больше, а может и не быть вовсе, как например результатом пересечения множества «сейчас» со множеством «лето, ночь» будет пустое множество.
Множества могут объединяться. Например множества «зима, лето, осень, весна» и множество «день, ночь, утро, вечер» можно объединить во множество «зима, ночь, лето, вечер, день, утро, осень, весна» и назвать его, например, «время».
Пересечение и объединение множеств называются «конъюнкцией» и «дизъюнкцией», и в математической логике связаны со словами «И» и «ИЛИ», а в дискретной математике - с операциями умножения и сложения. «Время ЭТО время года ИЛИ время суток» то же самое, что и «время = время года + время суток». А «зима ЭТО сейчас И время года» то же самое, что и «зима = сейчас * время года». Ну, или «вечер = сейчас * время суток».
Композиция и декомпозиция множеств тоже допустима. Множество «время» содержит в себе множества «времена года», «время суток» и «сейчас», то есть является надмножеством для всех их, а они, в свою очередь, являются подмножествами множества «время».
Если есть сложение множеств, то должно быть и вычитание. Оно есть. Множество «лето, весна» являются для множества «зима, осень» дополнением до множества «времена года».
Точно также, если есть нуль, то есть и бесконечность. Если есть пустое множество, то есть и универсальное множество. Оно содержит в себе вообще все. Дополнение до универсального множества звучит как «ВСЕ, КРОМЕ…». Все, кроме «зима» это не только остальные времена года, это вообще все. Дополнение до универсального множества называется отрицанием множества. То есть множество, в котором есть «все, кроме». Для него в логике припасено слово «НЕ».
Множества можно вычислять. Ответ на вопрос «сейчас ЭТО зима ИЛИ утро?» - множество «зима», «сейчас ЭТО (утро И осень) ИЛИ (зима И (НЕ ночь))?» - множество «зима, вечер», а «сейчас ЭТО НЕ вечер?» - пустое множество. Обратите внимание на скобки - сложность выражения может быть любая, но если рисовать эти множества в виде кругов Эйлера2) - то ответ будет прост и нагляден.